用成分表解决代数结构问题

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📜 用成分表解决代数结构问题

📅 最后修改于: 2021-08-25 17:12:57 🧑 作者: Mango

问题一：
组G = ^{{1，ω，ω2}}即，三单位根并形成有限阿贝尔群相对于乘法，也证明通过组合物表此语句。

解释：
给出，集= G = ^{{1，ω，ω2}，}操作= ‘*’即乘法。

为了证明统一的三个根形成一个有限的阿贝尔群，我们必须满足以下五个属性，即闭包属性，关联属性，身份属性，逆属性和交换性质。

注意- ^：ω3 = 1

1)封闭权–

∀ a , b ∈ G ⇒ a * b ∈ G
a=1 , b=ω ∈ G  
⇒  1 * ( ω ) = ω = ω ∈ G

因此，满足了闭包性。

2)关联财产–

(a* b) * c = a*(b *c)          ∀ a , b , c ∈ G
Let a=1, b=ω and c=ω2
So, 
LHS  = ( a * b )*c
     = (1*  ω ) *ω2 = ω3=1
   
RHS  = a * ( b * c)
     = 1*( ω* ω2 ) = ω3= 1

Hence, RHS = LHS

关联财产也得到满足

3)身份属性–

a *e = a      ∀  a ∈ G
e=identity=1 (in case of multiplication)
1 ∈  G
Let a=1
1*1= 1
1 ∈  G
Identity property is also satisfied.

4)逆属性–

Number

Inverse

1/1=1

1/ω = ω²/ω .ω² = ω²

ω²

1/ω² = ω /ω².ω =ω

在这里我们可以看到1的逆是1，ω的逆是ω2，ω2的逆是ω。这些逆属于集合G。

因此，逆属性也得到满足。

5)交换性–

a * b = b * a          ∀ a , b ∈ G
Let a=1, b=ω
LHS = a * b
     = 1*ω = ω
RHS = b * a
     = ω *1= ω
LSH=RHS

交换性也得到满足。

我们可以看到所有五个属性都满足。因此，统一的三个根形成带有运算乘法的有限阿贝尔群。

成型成分表：

步骤1：
将set中的所有元素写在行和列中，并在给定的运算符(*)上将其写在角落，然后将列中的元素与row元素一一相乘，然后将其写入行，如下图所示。

第2步：
在将列中的每个元素与行元素相乘之后，我们的组成表将如下图所示，

步骤3：
我们知道，

ω3=1 So, ω4=ω3.ω=1.ω=ω

所以我们的成分表变成

第四步：
寻找元素的逆。

从每行的标识元素中绘制水平和垂直线，垂直线提供行元素的逆，我们可以清楚地看到1的逆是1，ω的逆是ω2，ω2的逆是ω。

步骤5：
由组成表满足阿贝尔群的性质

我们在组成表中看到所有数字都在集合G中，因此满足了闭包属性。
我们看到组成表中的所有数字都属于集合G，因此满足了关联属性。
在每行的组成表中，有标识元素1，满足标识属性。
我们看到的是1倒数1，ω的倒数是^ω2和^ω2的倒数是ω。全部都属于集合G，因此也满足逆属性。
组成表中的所有数字都属于集合G，还满足交换性。

因此，G = ^{{1，ω，ω2}}是相对于乘法的阿贝尔群。

问题2：
设置G = {1，-1，i，-i}，即统一的四个根，并就乘法形成一个有限的阿贝尔群。

解释：
统一的四个根是1，-1，i，-i。因此我们的集合将是G = {1，-1，i，-i}

运算= ‘*’，即乘法。

为了证明统一的四个根形成一个有限的阿贝尔群，我们必须满足以下五个属性，即闭包属性，关联属性，身份属性，逆属性和交换性质。