不确定形式

承担函数$F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$在x = a时未定义，但当x接近a时可能接近极限。确定这种限制的过程称为不确定形式的评估。 《 L’医院规则》有助于评估不确定的形式。根据此规则-
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
假设f’(x)和g’(x)都存在于x = a且g’(x)≠0处。

不确定形式的类型：

1. 类型$\frac{0}{0}$
   假设f(x)= 0 = g(x)为x→a或x→0
   可以通过应用L’Hospital规则直接解决此表格。
   $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
   假设f’(x)和g’(x)都存在于x = a且g’(x)≠0处。
2. 类型$\frac{\infty}{\infty}$
   假设f(x)=∞= g(x)为x→a或x→±∞。可以通过首先将其转换为类型来解决此形式$\frac{0}{0}$作为-
   $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$
   现在，我们可以照常应用L’Hospital规则来解决它。建议将其转换为0/0形式，因为分子和分母的微分可能永远不会因某些问题而终止。
3. 类型$0.\infty$
   假设f(x)= 0且g(x)=∞为x→a或x→±∞，则乘积f(a).g(a)是不确定的。我们需要通过将其转换为类型0/0或∞/∞来解决它。
   $f(x).g(x)=\frac{f(x)}{1/g(x)}$或者$\frac{g(x)}{1/f(x)}$
   现在我们需要应用L’Hospital规则。
4. 类型$\infty - \infty$
   假设f(x)=∞= g(x)为x→a。通过以下方法再次将其转换为0/0形式，可以解决此类型的问题：
   $f(x)-g(x)=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}$
   当我们获得0/0表格时，现在我们可以应用L’Hospital规则。
5. 类型$0^0, \infty^0, 1^{\infty}$
   要评估这些表格，请考虑：
   $y(x)=f(x)^{g(x)}$
   双方取对数
   $\lny=g(x)\lnf(x)$
   将极限设为x→a或x→±∞
   $\lim_{x\to a}\lny=k$
   然后$k=\lim_{x\to a}(\lny)=\ln(\lim_{x\to a}y)$
   $=\ln(\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)})$
   $\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=e^k$

笔记 –
如果在x = a处不存在f’(x)和g’(x)，则我们需要再次执行微分，直到f(x)和g(x)的导数变为有效。

示例1：
评估$\lim_{x\to 1}\frac{1+\lnx-x}{1-2x+x^2}$

解释 ：
由于给定函数在x = 1时假设为0/0形式，因此我们可以直接应用L’Hospital规则。
$F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$
$f(x)=1+\lnx-x \scriptstyle\implies f'(x)=0+1/x-1$
$g(x)=1-2x+x^2 \scriptstyle\implies g'(x)=-2+2x$
这再次形成0/0形式。因此，我们再次应用L’Hospital规则。
$f''(x)=\frac{-1}{x^2}$和$g''(x)=2$
因此$\lim_{x\to 1} F(x)=\frac{f''(x)}{g''(x)}$
$=\lim_{x \to 1}\frac{-1/x^2}{2}=\frac{-1}{2}$

示例2：
评估$\lim_{x\to 1}\log(1-x).\cot\frac{\pi x}{2}$

解释 ：
给定的函数采用0.∞形式。我们将首先将其重写为$\frac{\infty}{\infty}$形式。
$\lim_{x\to 1}log(1-x).cot\frac{\pi x}{2}=\lim_{x\to 1}\frac{\ln(1-x)}{\tan \pi x/2}$
现在我们应用L’Hospital规则来获得
$\lim_{x\to 1}\frac{1/(1-x).(-1)}{\pi/2.\sec^2 \pi x/2}$
这种形式$\frac{\infty}{\infty}$再次形成。我们将其以0/0格式重写为-
$\lim_{x \to 1}\frac{-2\cos^2\pi x/2}{\pi (1-x)}$
现在，再次应用L’Hospital规则。
$\Lim_{x \to 1}\frac{-2}{\pi}.\frac{2.\cos\pi x/2.(-\sin \pi x/2).\pi/2}{-1}=0$