门| GATE CS 2018 |简体中文问题18

以下哪一个是序列{a _n }的生成函数的闭式表达式，其中对于所有n = 0、1、2，…，a _n = 2n + 3?

(A) A
(B) B
(C) C
(D) D答案： (D)
说明：给定一个_n = 2n + 3

为序列_n生成函数G(x)为
G(x)= $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

= $\sum_{n=0}^{\infty} 2n(x^n) + 3(x^n)$

= $2 \sum_{n=0}^{\infty} n(x^n) + 3 \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

= 2(0 + x + 2x ² + 3x ³ + …)+ 3(1 + x + x ² + ….)

我们知道$\frac{1}{1-x}$ = 1 + x + x ² +…。

x + 2x ² + 3x ³ +…= x(1 + 2x + 3x ² +…。)= $\frac{x}{(1-x)^2}$

将计算值代入G(x)

G(x)= $2(\frac{x}{(1-x)^2}) + 3(\frac{1}{1-x})$

= $\frac{2x+3-3x}{(1-x)^2}$

= $\frac{3-x}{(1-x)^2}$
这个问题的测验