数学归纳原理

数学归纳法是一种数学证明方法，用于证明有关任何组织良好的集合的给定陈述。通常，它用于证明结果或建立以n表示的陈述，其中n是自然数。该技术包括三个步骤来证明陈述P(n)，如下所述：

• 验证对于诸如n = a这样的小情况，即P(a)为true，该语句是否为true。 [基本情况]
• 假设对于某个k≥a的n = k，该语句为真，即P(k)为真。 [归纳假设]
• 如果P(k)的真值包含P(k + 1)的真值，则对于所有n≥a ，陈述P(n)都是正确的。

基本步骤和归纳步骤一起证明了P(k)=> P(k + 1)=> P(k + 2)…。是真的。因此，对于所有≥n的整数，P(n)为真。我们可以将数学归纳法与下降的多米诺骨牌进行比较。当多米诺骨牌掉落时，它会连续击倒下一个多米诺骨牌。第一个多米诺骨牌击倒了第二个，第二个多米诺骨牌击倒了第三个，依此类推。最后，所有的多米诺骨牌都将被击倒。但是要满足一些条件：

1. 起始的多米诺骨牌必须掉落，以使敲打过程生效。这是基本步骤。
2. 对于任何两个相邻的多米诺骨牌，多米诺骨牌之间的距离必须相等。否则，某些多米诺骨牌可能掉下来而不会在下一个上打滚。然后，反应顺序将停止。保持相等的多米诺骨间距离可确保每个k≥a的整数P(k)⇒P(k + 1)。这是归纳步骤。

例子

示例1：对于所有n≥1，证明，
1 ² + 2 ² + 3 ² … ^{.n 2} = {n(n + 1)(2n +1)} / 6

解决方案：

令给定的陈述为P(n)，

$P(n)=1^2+ 2^2 + 3^2+ ……+ n^2 = \frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} \ for\, n=1,\ P(1)=\frac{1(1+1)(2*1+1)}{6} = 1\ ,which\ is\ true.$

现在，让我们取一个正整数k，并假设P(k)为真，即，

$1^2 + 2^2 + 3^2 ....k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

现在我们证明P(k + 1)也成立，所以我们有了，

P(k + 1)= P(k)+(k +1) ²

$= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \\ \ \\ = \frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} \\ \ \\ = (k+1) \frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} \\ \ \\ =\frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} \\ \ \\ =\frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6}\\ \ \\ =\frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6} \ \\$

因此，只要对所有自然数而言P(k)为真，P(k +1)就为真。因此，通过数学归纳的过程，给定的结果对于所有自然数都是正确的。

示例2：对于所有n≥1，证明，
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5…n(n +1)(n + 2)= {n(n +1)(n + 2)(n + 3)} / 4

解决方案：

令给定的语句为S(n)，

$and \ S(n)=1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ ……+ n.(n+1)(n+2) = \frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4}\\ \ \\ for\ n=1, \ S(1) = \frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6\ ,which\ is\ true. \ \\$

现在，让我们取一个正整数k，并假设S(k)为真，即，

$S(k)=1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ ……+ k.(k+1)(k+2) = \frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} \ \\$

现在我们证明S(k + 1)也成立，所以我们有了，

$S(k+1) = S(k) + (k+1)(k+2)(k+3)\\ \ \\ = \frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3)\\ \ \\ = \frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ \ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} \\ \ \\ = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}\\ \ \\ = \frac{ (k+1)\{(k+1)+1\}\{(k+1)+2\}\{(k+1)+3\} }{4}$

因此，只要S(k)对于所有自然数为真，S(k +1)就为真。最初我们证明S(1)是正确的，因此S(n)对于所有自然数都是正确的。

示例3：对于所有n≥1，证明，
1 + 3 + 5…2n – 1 = n ²

解决方案：

Let the given statement be S(n), 

and S(n) = 1 + 3 + 5 … 2n – 1 = n²

For n = 1, 2 * 1 – 1 = 1²  Thus S(1) is true .

Now, let’s take a positive integer, k, and assume S(k) to be true i.e.,

S(k) = 1+ 3 + 5 .. (2k – 1) = k² 

We shall now prove that  S(k + 1) is also true, so now we have,

1 + 3 + 5 .. (2(k + 1) – 1) = (k + 1)² 

L.H.S: 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

= S(k) + 2k + 1

= k² + 2k + 1

= (k + 1)² 

= R.H.S

Thus S(k + 1) is true, whenever S(k) is true for all natural numbers. And we initially showed that S(1) is true thus S(n) is true for all natural numbers.

例4：对于所有n≥1，证明，
1.2 + 2.3 + 3.4…n(n +1)= {n(n +1)(n + 2)} / 3

解决方案：

令给定的语句为S(n)，

$and \ S(n)=1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}\\ \ \\ for\ n=1, \ S(1) = \frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2\ ,which\ is\ true. \ \\$

现在，让我们取一个正整数k，并假设S(k)为真，即，

$S(k)=1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = \frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} \ \\$

现在我们证明S(k + 1)也成立，所以我们有了，

$S(k+1) = S(k) + (k+1)(k+2)\\ \ \\ = \frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2)\\ \ \\ = \frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} \\ \ \\ = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\\ \ \\ = \frac{ (k+1)\{(k+1)+1\}\{(k+1)+2\} }{3}$

因此，只要S(k)对于所有自然数为真，S(k +1)就为真。我们最初证明S(1)是正确的，因此S(n)对于所有自然数都是正确的。

例5：证明_n = a ₁ +(n – 1)d是任何算术序列的总称。

解决方案：

For n = 1, we have a_n = a₁ + (1 – 1) d = a₁, so the formula is true for n = 1,

Let us assume that the formula a_k = a₁ + (k – 1) is true for all natural numbers. 

We shall now prove that the formula is also true for k+1, so now we have,

a_{k + 1} = a₁ + [(k + 1) – 1] d = a₁ + k · d.

We assumed that a_k = a₁ + (k – 1) d, and by the definition of an arithmetic sequence a_{k+ 1} – a_k = d,

then, a_{k + 1} – a_k 

= (a₁ + k · d) – (a1 + (k – 1)d)

= a₁ – a₁ + kd – kd + d

= d

Thus the formula is true for k + 1, whenever it is true for k. And we initially showed that the formula is true for n = 1. Thus the formula is true for all natural numbers.