波叠加原理

在现实生活中，波浪几乎无处不在。 Wifi、移动网络和任何其他无线通信形式都由不同波长的波组成。由于托马斯·杨的实验，确定了光具有波动性。既然确定了我们周围的许多物理现象都构成了波，那么研究两个或多个波之间的叠加就变得至关重要。波浪的行为不像让我们详细研究这些概念。

叠加原理

当两个或多个波在同一介质中传播时，它们必然会相互作用。它们在相互结合后保留了它们的波浪性质，但通常，合成的波浪与两个单独的波浪不同。叠加原理帮助我们描述当两个或多个波相互结合时产生的波或运动。下图显示了在给定介质的粒子中产生一些位移的两个波。在这种情况下，叠加原理表明，

The resultant displacement of a number of waves in the medium at a particular point is the vector sum of the individual displacements produced by wave at each point. 

在上图中，给出了两个具有单独位移 y ₁和 y ₂的波。请注意，这两个波叠加的合成波比两个单独的波具有更大的位移。

叠加原理可以应用于任何类型的波，前提是：

1. 叠加的波属于同一类型。
2. 波在其中传播的介质呈线性行为，这意味着以两倍位移位移的介质粒子在它们上承受两倍的恢复力。

在波的情况下，上图显示了两个方向相反的波。这些波在绳索中产生相等的位移。请注意，在图（c）中，当两个波重叠时，合成位移为零。

用数学术语，叠加原理可以描述如下。假设 y ₁ (x, t) 和 y ₂ (x, t) 是介质中的两个波产生的位移。让 P 成为这两种方式的交汇点。现在使用叠加原理求合成位移 (y)。

y = y ₁ (x, t) + y ₂ (x, t)

如果两个或多个波在介质中的一个点传播并相遇，并且单个波的波函数由下式给出，

y = f ₁ (x – vt)

y = f ₂ (x – vt)

…

y = f _n (x – vt)

位移后的合成波由下式给出，

y = f₁(x – vt) + f₂(x – vt) +  f₃(x – vt) + …. f_n(x – vt)

建设性干扰

让我们考虑两个以相同速度传播的波。由于这两个波以相同的速度传播并在特定点相遇。让我们分析这些波叠加后产生的波的合成幅度。假设两个波产生的位移方程相同并且由下式给出，

y ₁ = acos( ωt)

y ₂ = acos(ωt)

现在使用叠加原理求合成位移 (y)。

y = y ₁ + y ₂

⇒ y = acos( ωt) + acos(ωt)

⇒ y = 2acos(ωt)

众所周知，强度与幅度的平方成正比。因为在这种情况下，幅度 变为原始幅度的两倍。产生的强度由下式给出

我 = 4我₀

其中 I ₀是原始波的强度。

由于叠加后强度增加。这被称为建设性干扰。

破坏性干扰

让我们考虑两个以相同速度传播的波。由于这两个波以相同的速度传播并在特定点相遇。让我们分析这些波叠加后产生的波的合成幅度。假设这次由两个波产生的位移方程是相反的，并且由下式给出，

y ₁ = acos( ωt)

y ₂ = acos(ωt + 5 π )

y = y ₁ + y ₂

⇒ y = acos( ωt) + acos(ωt + 5 π )

⇒.y = acos( ωt) – acos( ωt)

⇒ y = 0

因此，这一次相反方向的两个位移导致零振幅和零强度。这称为相消干涉。相消干涉的路径差可以概括为 ( n + 0.5) $\lambda$其中 n = 0, 1, 2, 3 ...。

让我们看看这些概念的一些例子。

示例问题

问题1：干扰现象可以用下列哪项原理来解释：

1. 海森堡原理
2. 费米原理
3. 叠加原理
4. 量子力学

回答：

Phenomena of interference can be explained by “Superposition Principle”. It states that, 

“The resultant displacement of a number of waves in the medium at a particular point is the vector sum of the individual displacements produced by wave at each point.”

问题 2：在介质中传播的两个波由以下方程给出，

y ₁ = 2acos( ωt)

y ₂ = 2acos(ωt + π )

求它们叠加后的幅度。

回答：

y = 2acos(ωt) + 2acos(ωt + π)

⇒ y = 2acos(ωt) – 2acos(ωt)

⇒ y = 0 

The resulting amplitude becomes zero. 

问题 3：在介质中传播的两个波由以下方程给出，

y ₁ = acos(0.5 ωt)

y ₂ = acos(0.5ωt + 2 π )

求它们叠加后的幅度。

回答：

y = acos(0.5ωt) + acos(0.5ωt + 2π)

⇒ y = acos(0.5ωt) + acos(0.5ωt)

⇒ y = 2acos(0.5ωt)

The resulting amplitude becomes “2a”. 

问题 4：在介质中传播的两个波由以下方程给出，

y ₁ = 2acos( ωt)

y ₂ =3acos(ωt + π )

求它们叠加后的幅度。

回答：

y = 2acos(ωt) + 3acos(ωt + π)

⇒ y = 2acos(ωt) – 3acos(ωt)

⇒ y = -acos(ωt) 

问题 5：在介质中传播的两个波由以下方程给出，

y ₁ = acos( ωt)

y ₂ =acos(ωt + 2 π )

求它们叠加后的幅度。

回答：

y = acos(ωt) + acos(ωt + 2π)

⇒ y = acos(ωt) + acos(ωt)

⇒ y = acos(ωt)

The resulting amplitude becomes “8a”.