谜题47 |红帽与蓝帽

由三人组成的团队决定玩以下游戏的策略。每个玩家走进一个房间。在进入的路上，为每位玩家掷一枚公平的硬币，决定该玩家的帽子颜色，红色或蓝色。每个玩家都可以看到其他两个玩家的帽子颜色，但不能看到自己的帽子颜色。在检查了彼此的帽子颜色后，每个玩家决定以下响应之一：

“I have a red hat”, or “I had a blue hat”, or “I pass”

玩家的回答会被记录下来，但在每个玩家都记录了她的回答之前，这些回答不会被共享。如果至少有一名球员用一种颜色做出回应，并且每种颜色的回应都正确地描述了做出回应的球员的帽子颜色，则该团队获胜。换句话说，如果每个人都回答“我通过”，或者有人回答的颜色与她的帽子颜色不同，那么团队就会失败。应该使用什么策略来最大化团队的预期获胜机会？

例如，一种可能的策略是从三名玩家中挑出一名。这个玩家会回答“我有一顶红帽子”，其他人会回答“我通过”。使用此策略获胜的预期几率为 50%。你能做得更好吗？

答案：对于 75% 的获胜机会，存在更好的解决方案。

解决方案：对于三名球员和两种帽子颜色，总共有八种可能的结果：

该分布的一个特点是大多数结果（其中六个）至少包括一顶两种颜色的帽子。只有两个极端的结果不会——全红帽子或全蓝帽子。我们可以进一步分析。在两种帽子颜色的结果中，逻辑上必须有两种颜色的帽子（“多数”颜色）和另一种颜色的帽子（“少数”颜色）。见下图

现在，通过查看其他帽子，玩家可以识别他们是佩戴多数颜色还是少数颜色。例如，如果玩家同时看到一顶红色和蓝色的帽子，则该玩家必须佩戴多数颜色（可以是红色或蓝色）。如果玩家看到两顶蓝帽子或两顶红帽子，那么玩家必须佩戴少数颜色，即与玩家看到的颜色相反的颜色。以下是玩家可以在六个选择中进行推理的原因：

现在的想法是让少数派帽子颜色的玩家猜测并迫使其他人通过。
所以这里是策略：
如果您同时看到红色和蓝色帽子，则“通过”
如果你看到两个红色的帽子，那就猜“蓝色”
如果你看到两个蓝色的帽子，那就猜“红色”

这种策略在所有六种情况下都获胜，每种颜色至少有一顶帽子。只有在全红或全蓝两种情况下，所有玩家都猜错了，它才会输。以下是玩家的猜测：

因此，该小组在八种可能结果中的六种中获胜——高达 75% 的机会。