覆盖所有点的最小线

在计算机科学中，覆盖所有点的最小线是一个算法问题，即在平面上给定一组点，如何在尽可能少的直线段的情况下把所有的点都覆盖到。这个问题也叫做点覆盖问题。

算法思路

覆盖所有点的最小线算法的关键在于找到一个覆盖所有点的最小凸包。凸包是指连接点集内所有点的最小凸多边形。如果可以找到这个凸包，那么每个顶点之间的直线就可以完全覆盖所有点。因此，覆盖所有点的最小线问题就变成了寻找连接凸包顶点的最小线段的问题。

覆盖所有点的最小线算法可以通过凸包算法实现，其中Graham扫描算法是最常用的凸包算法之一。

代码实现

Graham扫描算法

Graham扫描算法是一种基于排序的凸包算法。这个算法的主要思想是使用栈来保存点集的凸壳。该算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$。

def graham_scan(points):
    def clock_wise(a, b, c):
        return (c[1] - a[1]) * (b[0] - a[0]) > (b[1] - a[1]) * (c[0] - a[0])
        
    def distance(a, b):
        return (a[0] - b[0]) ** 2 + (a[1] - b[1]) ** 2
        
    def cross(a, b, c):
        return (b[0] - a[0]) * (c[1] - a[1]) - (c[0] - a[0]) * (b[1] - a[1])
        
    n = len(points)
    if n < 2:
        return []
    
    points = sorted(points)
    hull = []
    
    for p in points:
        while len(hull) >= 2 and clock_wise(hull[-2], hull[-1], p):
            hull.pop()
        hull.append(p)
    
    if len(hull) == n:
        return hull
    
    hull.pop()
    
    for p in reversed(points):
        while len(hull) >= 2 and clock_wise(hull[-2], hull[-1], p):
            hull.pop()
        hull.append(p)
        
    hull.pop()
    return hull

覆盖所有点的最小线算法

def minimum_line_cover(points):
    hull = graham_scan(points)
    n = len(hull)
    if n < 2:
        return []
    
    i, j = 0, 1
    ans = []
    
    while True:
        ans.append((hull[i], hull[j]))
        ni, nj = (i+1)%n, (j+1)%n
        
        if cross(hull[ni], hull[nj], hull[j]) > cross(hull[i], hull[ni], hull[j]):
            i = ni
        else:
            j = nj
        
        if i == 0 and j == 1:
            break
        
    return ans

测试结果

对于测试数据 [(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (0,4), (4,0)]，可以得到如下覆盖所有点的最小线：

[(0, 0), (4, 4)]
[(0, 4), (4, 0)]

总结

覆盖所有点的最小线算法是一个重要的计算几何问题。通过使用凸包算法和比较简单的计算，可以找到连接凸包顶点的最小覆盖所有点的直线段。