离散数学中的二部图 - Javascript

离散数学中，二部图是一种特殊的图形结构，它的节点可以分为两个独立的集合，并且每个集合中的节点之间不存在边。在实际的计算机应用中，二部图经常被用来描述一些问题，比如网络流、推荐算法等。

在Javascript中，我们可以通过邻接矩阵或者邻接表来表示二部图。下面是一个使用邻接矩阵表示的二部图示例：

const graph = [
    [0, 1, 0, 1],
    [1, 0, 1, 0],
    [0, 1, 0, 1],
    [1, 0, 1, 0]
];

这里，我们将节点分为两个集合，编号为1到4的节点属于集合A，编号为5到8的节点属于集合B。矩阵中每个元素表示两个节点之间是否存在边，1表示存在边，0表示不存在。

如果我们需要对这个二部图进行遍历，可以使用BFS或DFS算法，其中DFS算法的代码如下：

function dfs(vertex, visited, graph) {
    visited[vertex] = true;
    const adjacents = graph[vertex];
    for (let i = 0; i < adjacents.length; i++) {
        if (adjacents[i] && !visited[i]) {
            dfs(i, visited, graph);
        }
    }
}

function bipartite_dfs(graph) {
    const color = [];
    const visited = new Array(graph.length).fill(false);
    let isBipartite = true;
    for (let i = 0; i < graph.length; i++) {
        if (!visited[i]) {
            color[i] = 0;
            dfs(i, visited, graph);
        }
    }
    for (let i = 0; i < graph.length; i++) {
        if (!isBipartite) break;
        const adjacents = graph[i];
        for (let j = 0; j < adjacents.length; j++) {
            if (adjacents[j]) {
                if (color[i] === color[j]) {
                    isBipartite = false;
                    break;
                } else if (color[i] === undefined) {
                    color[j] = color[i] ^ 1;
                } else if (color[j] === undefined) {
                    color[j] = color[i] ^ 1;
                }
            }
        }
    }
    return isBipartite;
}

这段代码使用了DFS算法遍历二部图，并判断是否为二分图。具体实现时，我们用颜色0和1表示两个节点集合，分别标记每个节点属于哪个集合，并判断是否有重复节点被标记。

另外，我们也可以使用BFS算法实现对二部图的遍历，代码如下：

function bipartite_bfs(graph) {
    const color = [];
    const visited = new Array(graph.length).fill(false);
    let isBipartite = true;
    const queue = [];
    for (let i = 0; i < graph.length; i++) {
        if (!visited[i]) {
            color[i] = 0;
            queue.push(i);
            while (queue.length > 0 && isBipartite) {
                const vertex = queue.shift();
                visited[vertex] = true;
                const adjacents = graph[vertex];
                for (let j = 0; j < adjacents.length; j++) {
                    if (adjacents[j]) {
                        if (color[j] !== undefined && color[j] === color[vertex]) {
                            isBipartite = false;
                            break;
                        } else if (color[j] === undefined) {
                            color[j] = color[vertex] ^ 1;
                            queue.push(j);
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    return isBipartite;
}

上述代码使用了BFS算法，利用队列进行遍历，同时判断是否为二分图。

总的来说，二部图在离散数学中有着广泛的应用，而在实际的计算机应用中也经常被用到。本文介绍了如何使用邻接矩阵或邻接表表示二部图，并分别介绍了使用DFS和BFS算法遍历二部图，并判断是否为二分图的实现方法。