8类 RD Sharma 解决方案 - 第六章代数表达式和恒等式 - 练习6.7

简介

本篇文章将介绍 RD Sharma 8类解决方案中第六章代数表达式和恒等式的练习6.7，该练习主要是关于代数式的求解。在本练习中，我们将掌握重要的代数知识点，包括多项式乘法、因式分解、恒等式证明等。

知识点

在本练习中，我们将涉及到以下知识点：

1. 多项式乘法
2. 因式分解
3. 恒等式证明

练习内容

练习6.7

以下是练习6.7的题目：

证明以下恒等式：

$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)$

解题思路

该恒等式是一个三次方程式，涉及到多项式乘法、因式分解等知识点。我们可以通过以下方法解题：

1. 将恒等式左侧进行展开
2. 利用因式分解将恒等式左侧化简
3. 将化简后的恒等式左右两侧进行比较，证明恒等式成立

代码实现

代码片段如下：

1. 将恒等式左侧进行展开

$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$

$=a^3+b^3-3a^2b+3ab^2-b^3+c^3-3b^2c+3bc^2+c^3-a^3-3ac^2+3a^2c$

$=a^3-a^3+b^3-b^3+c^3+c^3+3ab^2-3a^2b-3b^2c+3bc^2-3ac^2+3a^2c$

2. 利用因式分解将恒等式左侧化简

对于 $3ab^2 - 3a^2b - 3b^2c + 3bc^2 - 3ac^2 + 3a^2c$，我们可以将其拆成如下几个因式：

$3ab(b-a)-3bc(b-c)+3ac(c-a)$

将其代入恒等式左侧得：

$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$

$=3ab(b-a)-3bc(b-c)+3ac(c-a)$

$=3(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 将化简后的恒等式左右两侧进行比较，证明恒等式成立

因此，恒等式左右两侧相等，证明恒等式成立。

结论

通过以上步骤，我们证明了练习6.7中的恒等式成立。在本练习中，我们掌握了多项式乘法、因式分解、恒等式证明等重要代数知识点，对于我们进一步学习代数学科提供了帮助。